Cálculo Ejercicio 4 Boletín 1 (Ejer. complementarios)

(FEB99) Durante la tos, el diametro de la traquea disminuye. La velocidad v del aire en la traquea
durante la tos viene relacionada con el radio mediante la ecuacion:
v = A*r^2*(r0 − r) , A > 0
donde r0 es el radio en estado de relajacion.
(a) Halla el radio de la traquea cuando la velocidad es maxima, ası como esta velocidad.
(b) Justifica la existencia de un mınimo. Calculalo.

(a)
Tenemos que buscar un maximo de la funcion dada.

v =A*r^2*r0-A*r^3
Derivo v en funcion de r

v'(r)=2*r*r0*A-3*r^2*A

Igualo a 0

v'(r)=0

Despejo r

r=2*r0/3=extremo

Subtituyo ese extremo en v

v(extremo)=A*(2*r0/3)^2 * r0 - A* (2*r0/3) ^3
v(extremo)=(A*4*r0^3 ) /27

Entonces,el radio de la traquea cuando la velocidad es maxima viene dado por el extremo relativo máximo
( 2*r0/3 , (A*4*r0^3 ) /27 )

(b)

Para que haya un minimo , v''(r) >= 0

El minimo seria decir que r0= r , si suponemos que r esta en estado de relajacion tambien( no puede haber valores negativos en el diametro de una traquea  )

Por lo que vminimo=0