Boletin 1 (Ejercicio 3)

Sea f : IR -> IR dada por:

Averigua si es derivable en x = -1.

Continuidad en el Pto "-1"

1) Existe f(-1) = -3

                                             | Existe limderecha(x->-1) f(x) = -3

2) Existe lim(x->-1) f(x) <=> |

                                             | Existe limizquierda(x->-1) f(x) = -2

La función presenta una discontinuidad de salto finito,pero eso no implica que no sea derivable.

               |  2 , si x < -1

 f ' (x) =   |

               | 3*x + 5 , si x>-1

Ahora procedemos a estudiar si es derivable en el punto -1 , ya que ahí la función presenta un cambio

f '(-1)(izq) = lim(x->-1)[(f(x)-f(-1))/(x+1)] =  lim(x->-1)[(2*x - 4)/(x+1)]=0/0(aplicamos l'hopital)=2

f '(-1)(der) = lim(x->-1)[(f(x)-f(-1))/(x+1)] = lim(x ->-1)[((x+1)^3+2*x)/(x+1)] = lim(x -> -1)[(x^3+3*x^2+5*x+1)/(x+1)] = 2/0 = infinito

No existe derivada en el punto -1, ya que 2 es distinto de infinito, como estudiamos antes, tampoco es continua y presenta una discontinuidad de salto finito que vale 1 unidad.