Boletin 2 (ejercicios 1 ,3,5,8)

1 Sea f una función continua en x 2 [2, 4], de la que sabemos que min x2[2,4] f(x) = 3 y max x2[2,4] f(x) = 6.
(a) ¿Puede valer 15 unidades de superficie el área de la figura comprendida entre la gráfica de y =f(x), el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4?
(b) ¿Entre qué valores puede oscilar el área anterior?

a)NO puede valer 15.Hallamos primero el area de la integral entre (4 y 2) de 3 ,y posteriormente se la sumamos al area entre (4 y 2) de 6.el resultado es 18 <>15

b)calcular el valor de las areas de las integrales por separado del apartado anterior[6 y 12 respectivamente]



3 (SEP99) Halla f(4) si la integral entre x y 0 de f(t) dt = x cos(πx).

Solución;
Buscamos simplemente la derivada y para ese valor,4,substituimos en las x.
F(x)=xcos(pi*x)
F`(x)=cos(pi*x)+x*(-sen(pi))
F'(4)=1


5 Halla la longitud de un arco de exponencial y = e^x entre los puntos (0, 1) y (1, e).



para f(x)=exp[x];

Aplicamos la formulita de la longitud de arco.

S=sqrt[(exp(x))^2+1]-ln(2*(sqrt[(exp(x))^2+1]+1))+ln(exp(x))

y se calcula la longitud entre los valores (0,1) y (1,e) por Barrow


8 Halla el ´area limitada por la gráfica de f(x) = xe^−2x y el eje OX en el intervalo (0, ∞)

la integral es;

F(x)=-1/4*exp(-2x)*(2x+1)

Es una integral impropia de tercera especie(entre (0,1) y (1,Inf))
Calculamos entre el intervalo (0,1) una integral impropia de segunda especie.
Entre (1,Inf) es de primera especie.

el Area pedida es 1/4.